不动点法秒杀高考数列 不动点法求数列通项原理

能介绍一下不动点方法在高中数学里的应用吗？我已经了解在求数列递推的应用。

x=(Ax+B)/(Cx+D)

求数列通项公式，具体如市西城区2010年一摸试题。将递推公式看成一个函数f（x），令A（n+1）=f（An），f（x）=x求出不动点，两边减去不动点。在经过变形就可得到通项。

不动点法秒杀高考数列 不动点法求数列通项原理

不动点法秒杀高考数列 不动点法求数列通项原理

2 利用f(x)的不动所以 a(n+2)=(s+r)a(n+1)-sra(n)点求函数或多项式的解析式

3 利用f(x)的不动点讨论n-周期点问题

5 求解一阶递归数列的极限

2009江西高考压轴题就是利用不动点方法求解数列通项公式的。

高中数学数列特征根和不动点法解通项公式的原理是什么，说的简单点

数列 {a(n)}，设递推公式为 a(n+2)=pa(n+1)+qa(n)，则其特征方程为 x^2-px-q=0 .

若方程有两相异根 A、B，则 a(n)=cA^n+dB^n (c、d可由初始条件确定，下同)

若方程有两等根 A=B，则 a(n)=(c+nd)A^n

以上部分内容的证明过程：

即，s+r=p，sr=-q，由韦达定理可知，r、s 就是一元二次方程 x^2-px-q=0 的两根，也就是刚才说的特征根。

然后进一步证明那个通项公式：

如果r=s，那么数列{a(n+1)-ra(n)} 是以 a(2)-ra(1) 为首项、r 为公比的等比数列，根据等比数列的性质可知：a(n+1)-ra(n) = [a(2)-ra(1)]r^(n-1)，

两边同时除以r^(n+1)，得到 a(n+1)/r^(n+1)-a(n)/r^n = a(2)/r^2-a(1)/r

等号右边的是个常数，说明数列{a(n)/r^n} 是个等数列。显然等号右边那个就是公，首项也比较明显，这里不重复了。根据等数列性质：a(n)/r^n = a(1)/r + (n-1)[a(2)/r^2-a(1)/r]

整理一下，并设 a(2)/r^2-a(1)/r = d ，再设 2a(1)/r-a(2)/r^2 = c ，然后把那个 r 用 A 来代，就可以得到 a(n)=(c+nd)A^n 了。

不动点法：

递推式：

a(n+1)=(Aan+B)/(Can+D)

（n∈N，A,B,C,D为常数，C不为0，AD-BC不为0，a1与a2不等）

其特征方程为x=(Ax+B)/(Cx+D)

特征方程的根称为该数列的不动点

(a(n+1)-α)/(a(n+1)-β)=k((an-α)/(an-β))

其中k=(A-αC)/(A-βC)

这类递推式可转化为等数列或等比数列Cx^2+(D-A)x-B=0

α不等于β

(D-A)^2+4BC不等于0

Cα^2+(D-A)α-B=0

Cα^2-Aα=B-αD

a(n+1)-α=(Aan+B-Cαan-αD)/(Can+D)=(Aan-Cαan+Cα^2-Aα)/(Can+D)=(A-Cα)(an-α)/(Can+D)

a(n+1)-β=(Aan+B-Cβan-βD)/(Can+D)=(Aan-Cβan+Cβ^2-Aβ)/(Can+D)=(A-Cβ)(an-β)/(Can+D)

(a(n+1)-α)/(a(n+1)-β)=(A-αC)/(A-βC)((an-α)/(an-β))

由(an-α)/(an-β)=((A-αC)/(A-βC))^(n-1)((a1-α)/(a1-β))

得an=(β(((A-αC)/(A-βC))^(n-1))((a1-α)/(a1-β))-α)/(((((A-αC)/(A-βC))^(n-1))((a1-α)/(a1-β))-1)

=(β(a1-α)(A-αC)^(n-1)-α(a1-β)(A-βC)^(n-1))/((a1-α)(A-αC)^(n-1)-(a1-β)(A-βC)^(n-1))

2）若x=(Ax+B)/(Cx+B)有重根α，则有

1/(a4 求解数列问题（求解一阶递归数列的通项公式）(n+1)-α)=1/(an-α)+k

其中k=(2C)/(A+D)

Cx^2+(D-A)x-B=0

Cα^2+(D-A)α-B=0

α=(A-D)/(2C)

a(n+1)-α=(A-Cα)(an-α)/(Can+D)

1/(a(n+1)-α)=((Can+D)/(A-Cα))(1/(an-α))

=1/(an-α)+(Can+D-A+((A-D)/(2C))C)/((A-(A-D)/(2C)C)(an-(A-D)/(2C)))=1/(an-α)+(Can+C(D-A)/(2C))/(((A+D)/2)(an+(D-A)/(2C)))

=1/(an-α)+(2C)/(A+D)

由1/(an-α)=(2C(n-1))/(A+D)+1/(a1-α)

an=1/((2C(n-1))/(A+D)+1/(a1-α))+α

注:并非本人总结，仅供参考。

高中数学数列特征根和不动点法解通项公式的原理是什么，说的简单点

1）若x=(Ax+B)/(Cx+B)有两个不等的根α、β，则有：

这个真要解释清楚需要用到大学数学中线性代数和组合数学的知识，很麻烦，高中阶段你只要会用并能证明其正确性即可……

Aα+Bβ=a1

证明如下：

特徵方程法：

a(n+2)=pa(n+1)+qan

其特征方程为x^2-px-q=0

i.若其有两个不相等的根（称作特征根）α、β

则an=Aα^n+Bβ^n

其中常数A、B的值由初始值a1、a2的值确定.

则an=(An+B)α^n

其中常数A、B的值由初始值a1、a2的值确定.

最终可得：

当{an}有两个不等的特征根为根α,β时

由a(n+2)-αa(n+1)=β^(n-1)(a2-αa1)

a(n+2)-βa(n+1)=α^(n-1)(a2-βa1)

或由

可得

A=(a2-βa1)/(α^2-αβ)

B=(a2-βa1)/(β^2-αβ)

得an=((a2-βa1)/(α-β))α^(n-1)+((a2-βa1)/(β-α))β^(n-1)

当特征根为重根α时

由an-αa(n-1)=α^(n-2)(a2-αa1)

αa(n-1)-α^2a(n-2)=α^(n-2)(a2-αa1)

…α^(n-2)a2-α^(n-1)a1=α^(n-2)(a2-αa1)

an-α^(n-1)a1=(n-1)α^(n-2)(a2-αa1)

或由

(A+B)α=a1

(2A+B)α^2=a2

可得

A=(a2-a1α)/(α^2)

得((a2-a1α)n+2a1α-a2)α^(n-2)

由于

α+β=A

αβ=-B

由韦达定理，可构造一元二次方程

x^2-px-q=0

此即为二阶常系数齐次线性递推数列

a(n+2)=pa(n+1)+qan

的特徵方程

特殊的，当二阶常系数齐次线性递推数列

a(n+2)=pa(n+1)+qan

的特徵根为重根α=1时

即p=2，q=-1

a(n+2)=2a(n+1)-an

此时，二阶常系数齐次线性递推数列

a(n+2)=2a(n+1)-an

为等数列

不动点法：

递推式：

a(n+1)=(Aan+B)/(Can+D)

（n∈N，A,B,C,D为常数，C不为0，AD-BC不为0，a1与a2不等）

其特征方程为x=(Ax+B)/(Cx+D)

特征方程的根称为该数列的不动点

(a(n+1)-α)/(a(n+1)-β)=k((an-α)/(an-β))

其中k=(A-αC)/(A-βC)

Cx^2+(D-A)x-B=0

α不等于β

(D-A)^2+4BC不等于0

Cα^2+(D-A)α-B=0

Cα^2-Aα=B-αD

a(n+1)-α=(Aan+B-Cαan-αD)/(Can+D)=(Aan-Cαan+Cα^2-Aα)/(Can+D)=(A-Cα)(an-α)/(Can+D)

a(n+1)-β=(Aan+B-Cβan-βD)/(Can+D)=(Aan-Cβan+Cβ^2-Aβ)/(Can+D)=(A-Cβ)(an-β)/(Can+D)

(a(n+1)-α)/(a(n+1)-β)=(A-αC)/(A-βC)((an-α)/(an-β))

由(an-α)/(an-β)=((A-αC)/(A-βC))^(n-1)((a1-α)/(a1-β))

得an=(β(((A-αC)/(A-βC))^(n-1))((a1-α)/(a1-β))-α)/(((((A-αC)/(A-βC))^(n-1))((a1-α)/(a1-β))-1)

=(β(a1-α)(A-αC)^(n-1)-α(a1-β)(A-βC)^(n-1))/((a1-α)(A-αC)^(n-1)-(a1-β)(A-βC)^(n-1))

2）若x=(Ax+B)/(Cx+B)有重根α，则有

1/(a(n+1)-α)=1/(an-α)+k

其中k=(2C)/(A+D)

Cx^2+(D-A)x-B=0

Cα^2+(D-A)α-B=0

α=(A-D)/(2C)

a(n+1)-α=(A-Cα)(an-α)/(Can+D)

1/(a(n+1)-α)=((Can+D)/(A-Cα))(1/(an-α))

=1/(an-α)+(Can+D-A+((A-D)/(2C))C)/((A-(A-D)/(2C)C)(an-(A-D)/(2C)))=1/(an-α)+(Can+C(D-A)/(2C))/(((A+D)/2)(an+(D-A)/(2C)))

=1/(an-α)+(2C)/(A+D)

由1/(an-α)=(2C(n-1))/(A+D)+1/(a1-α)

an=1/((2C(n-1))/(A+D)+1/(a1-α))+α

不动点法可以求所有的数列通项吗？ 如果不是 那不动点法可以求怎样的

A=(2a1α-a2)/(α^2)

a(n+1)=(an-2)/(an+4)

再求出a(n+1)近而得到an,这个我不算了,解法就是这样

求an

=x

解得x1=-1

或x2=-2

(两个不动点）

再求a(n+1)-x1=a(n+1)+1=(an-2)/(an+4)

(1)

a(n+1)-x2=a(n+1)+2=(an-2)/(an+4)

+2=3(an+2)/(an+4)

(2)

两式相除得[a(。

数列没有不动点

利用极限的思想当N无穷大是 AN+1近似与AN相等

只能解这一类题,不过有的时候不一定要用不动点法,特殊的时候可以取倒数

比如a(n+1)=an/(2an+1),a1=1,an=?

取倒数1/a(n+1)=(an+1)/an=1+1/an,所以数列{1/an}是以公为1的等数列

1/an=1+(n-1)=n,an=1/n

可以用的情况,我随便举一个题

a(n+1)=(an+3)/(an-1),得an=((a2-βa1)/(α-β))α^(n-1)-((a2-βa1)/(α-β))β^(n-1)a1=1,an=?

=(x+1)[an+(3-x)/(x+1)]/(an-1)

令x=(3-x)/(x+1),解得x=-3或x=1.所以

a(n+1)-3=-2(an-3)/(an-1)

a(n+1)+1=2(an+1)/(an-1)

两式相除

[a(n+1)-3]/[a(n+1)+1]=-(an-3)/(an+1)=(-1)^n(a1-3)/(a1+1)=(-1)^(n+1)

如果刚才的那种方程有等根

那么就能构造出一个等数列,直接求就行

数列：不动点法

1 利用f(x)的不动点解方程（牛顿切线法）

有形如a(n+1)=f(an)的递推数列,可考虑用不动点法.

所谓不动点是指使方程f(x)=x成立的x叫函数f(x)不动点.

在上述数列中,使用不动点法如f(x)=a设 r、s 使 a(n+2)-ra(n+1)=s[a(n+1)-ra(n)]x+b,f(x)=(ax+b)/(cx+d)等类型.

不动点法求数列通项高考能用吗

ii.若其有两个相等的根α

能用。“不动点法”求数列的通项公式是普通高考数学项目中必考的一类题型，所以能用。高考是指的高等教育入学考试，高考是考生进入大学和选择大学的资解：如已知a1=1格考试，也是最重要的考试之一，由统一组织，由专门的机构命题，统一时间进行考试。

不动点求数列通项公式的原理是什么？

得an=((a2-a1α)n+2a1α-a2)α^(n-2)

并非所有函数都有不动点，作为特殊函数的数列当然也是如此

没有解的话有两种情况，一种没有不动点，不能用这种方法求通项。

二求数列的通项公式 (为An=根号n-根号n-1),请求过程 1/An-过程写的有点粗糙，请自己整理，详细化，存在不动点，但不动点非整

同时建议这位同学，不动点是一个方法但非，而且在很多时候即使可用也非的方法，考试切勿作方法。

不动点法的解题原理是什么？

∵a[n+1]=1/(a[n]+1)

高中数学数列特征根的原理是韦达定理，不动点法解通项公式的原理是极限思想。

法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出了这条定理。由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理。

定理的Aα^2+Bβ^2=a2推广

1、逆定理：通过韦达定理的逆定理，可以利用两数的和积关系构造一元二次方程。

2、推广定理：韦达定理不仅可以说明一元二次方程根与系数的关系，还可以推广说明一元n次方程根与系数的关系。

3、根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系。无论方程有无实数根，实系数一元二次方程的根与系数之间适合韦达定理。判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定一元二次方程根的状况和特征。