数列有极限是否一定有界

数列是数学中研究对象，它是由按一定规律排列的数所组成的序列。数列的极限是一个非常重要的概念，它表示数列中项的趋势。对于有极限的数列，我们自然会关心它是否是有界的。

数列有极限是否一定有界

定义：

有界的数列： 存在正实数 M 使得对于所有 n，|a_n| ≤ M。 以上述不等式成立的最小正实数 M 称为数列的上界。 无界的数列： 不存在正实数 M 使得对于所有 n，|a_n| ≤ M。

定理：

数列有极限当且仅当它是有界的。

换句话说，如果一个数列有极限，那么它一定是有界的；如果一个数列是无界的，那么它没有极限。

证明：

必要性：

假设数列 {a_n} 有极限 L。那么对于任意给定的 ε>0，存在正整数 N，使得对于所有 n ≥ N，|a_n - L| < ε。因此，对于所有 n ≥ N，|a_n| ≤ |a_n - L| + |L| < ε + |L|。

令 M = ε + |L|。则对于所有 n，|a_n| ≤ M。因此，数列 {a_n} 是有界的。

充分性：

假设数列 {a_n} 是有界的。那么存在正实数 M 使得对于所有 n，|a_n| ≤ M。

对于任意给定的 ε>0，取 δ = ε/2。则对于任意给定的正整数 N，如果 n ≥ N，那么 |a_n - a_N| ≤ |a_n| + |a_N| ≤ 2M。

因此，如果 n ≥ N，那么 |a_n - a_N| < ε/2。

根据柯西收敛准则，数列 {a_n} 有极限。

结论：