雅可比迭代法：求解线性方程组的经典方法

雅可比迭代法是一种经典的数值方法，用于求解线性方程组。它是一种迭代方法，即从初始猜测开始，并通过一系列重复计算来逐渐逼近解。

雅可比迭代法：求解线性方程组的经典方法

雅可比迭代法步骤：

1. 写出方程组：将线性方程组写成以下形式：

> Ax = b

其中 A 是系数矩阵，x 是未知向量，b 是常数向量。

2. 分解矩阵：将系数矩阵 A 分解为对角矩阵 D 和严格对角矩阵 L 和 U：

> A = D + L + U

其中 D 是主对角线元素的矩阵，L 是下三角矩阵，U 是上三角矩阵。

3. 初始化：从初始猜测 x^0 开始，通常取为零向量。

4. 迭代：对于 k = 0, 1, 2, ...，使用以下公式计算 x^(k+1)：

> x^(k+1) = D^(-1) (b - (L + U) x^k)

5. 判断收敛性：计算两次代数近似之间的误差：

> e^k = ||x^(k+1) - x^k||

如果误差小于预先设定的容差，则停止迭代并输出解 x^(k+1)。

雅可比迭代法的特点：

适用于系数矩阵为对角占优势的方程组，即对角线元素的模大于非对角线元素的和。 收敛速度取决于矩阵 A 的特征值。 对于某些方程组，雅可比迭代法可能不会收敛。

应用：

雅可比迭代法广泛应用于解决各种科学和工程问题，包括：

数值积分 求解偏微分方程 图像处理

改进方法：

为了提高雅可比迭代法的效率，可以使用改进的方法，例如：

高斯-赛德尔法：使用最新计算的迭代值来更新方程的右端。 逐次超松弛法：引入松弛参数 ω 来控制迭代步骤的大小。 预处理技术：通过缩放或分解系数矩阵来改善收敛性。