平行线距离公式：几何中的基本定理

在几何学中，平行线是永不相交的两条直线。确定两条平行线之间距离的能力对于解决各种问题至关重要，从测量形状的面积到工程计算。

平行线距离公式：几何中的基本定理

平行线距离公式

对于两条平行线 L1 和 L2，其中 L1 方程为 y = mx + b1，L2 方程为 y = mx + b2，其间的距离 d 可以使用以下公式计算：

``` d = |b2 - b1| / √(1 + m²) ```

其中：

m 是两条平行线共有的斜率。 b1 和 b2 是两条平行线的 y 截距。

公式推导

要推导出该公式，我们首先从一个包含平行线 L1 和 L2 的直角三角形开始。该三角形的斜边与 L2 平行，高度垂直于 L1 和 L2。

令斜边的长度为 d，高度的长度为 h。根据三角形的定义，斜边和高度的平方和等于斜边的平方。即：

``` d² = h² + (b2 - b1)² ```

由于 L1 和 L2 是平行线，因此它们具有相同的斜率 m。根据斜率-截距形式的直线方程，m 可以表示为：

``` m = (y2 - y1) / (x2 - x1) ```

其中 (x1, y1) 和 (x2, y2) 是 L1 和 L2 上的任意两点。

由于 L1 和 L2 平行，因此它们的 y 值相差相等，即 (y2 - y1) = (b2 - b1)。因此，斜率 m 可以简化为：

``` m = b2 - b1 / (x2 - x1) ```

由于三角形的斜边与 L2 平行，因此其斜率为 1/m。高度与其垂直，因此其斜率为 -m。

使用相似三角形的性质，我们可以得出：

``` h / d = -m / 1 ```

用这个方程替换 h，并将其代入三角形的平方和公式中，我们可以得到：

``` d² = (-m / 1)² + (b2 - b1)² ```

简化后得到平行线距离公式：

``` d = |b2 - b1| / √(1 + m²) ```

应用

平行线距离公式在各种几何和工程应用中都有广泛的应用，例如：

计算矩形的面积（矩形由两对平行线组成） 求平行线之间的中线长度 设计平行线轨道或道路系统 确定建筑物或结构之间的间距