矩阵左乘与右乘的区别

定义

矩阵左乘与右乘的区别

在矩阵运算中，左乘和右乘是指矩阵和向量的两种不同的运算方式。

左乘：向量在矩阵左边的乘法，即 A x 右乘：向量在矩阵右边的乘法，即 x A

运算规则

左乘的顺序：矩阵 x 向量 右乘的顺序：向量 x 矩阵

运算结果

左乘的结果是一个向量，其维度与矩阵的列数相同。 右乘的结果是一个向量，其维度与矩阵的行数相同。

图示

假设 A 是一个 m x n 矩阵，x 是一个 n x 1 向量：

| | 左乘 | 右乘 | |---|---|---| | 结果维度 | m x 1 | 1 x m | | 运算方式 | A x x | x x A | | 图示 | [图片: m x n 矩阵 A 和 n x 1 向量 x 的左乘] | [图片: n x 1 向量 x 和 m x n 矩阵 A 的右乘] |

区别

左乘和右乘的主要区别在于：

结果向量的维度不同：左乘产生 m x 1 向量，而右乘产生 1 x m 向量。 运算规则不同：左乘将向量放在矩阵的左边，而右乘将向量放在矩阵的右边。 交换性不成立：矩阵和向量的左乘和右乘一般不交换，即 A x ≠ x A。

应用

左乘和右乘在各种领域都有应用，例如：

线性方程组的求解 图论中的路径查找 物理学中的坐标变换 计算机图形学中的图形变换