4个基本不等式的公式 4个基本不等式的公式手写

三元不等式的基本公式

若a>b,c>d,则a-d>b-c.(真).

三元不等式的基本公式介绍如下：

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三元基本不等式公式证明：如果a，b，c∈R，那么a3+b3+c3≥3abc，当且仅当a=b=c时，等号成立；如果a，b，c∈R+，那么（a+b+c）/3≥3√（abc），当且仅当a=b=c时，等号成立。

一般地，用纯粹的大于号“>”、小于号“<”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于或等于号）“≥”、不大于号（小于或等于号）“≤”连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。总的来说，用不等号（，≥，≤，≠）连接的式子叫做不等式。

常用定理

①不等式F（x）< G（x）与不等式 G（x）>F（x）同解。

②如果不等式F（x） < G（x）的定义域被解析式H（ x ）的定义域所包含，那么不等式 F（x）

③如果不等式F（x）0，那么不等式F(x)两大技巧H（x）G（x）同解。

2、求值：题型特点是两个式子中x的次数互为相反数，相乘后可以抵消掉；如果是以多项式为整体应用基本不等式，为了让多项式产生联系，通常采用对多项式加减常数来解决。④不等式F（x）G（x）>0与不等式同解；不等式F（x）G（x）<0与不等式同解。

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1、不等两类值问题式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，性质5:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.不等号的方向不变。

均值不等式包含哪些基本不等式公式？

均值不等式涵盖了一些1、（当且仅当 时取等号）基本的不等式公式，其中常见和重要的是：

1. 算术平均-几何平均不等式（AM-GM不等式）：

对于非负实数 a 和 b，有以下不等式成立：

(a + b) / 2 ≥ 说明:本例条件是a>b,与正值不等式乘方性质相比在于缺少了a,b为正值这一条件,为此我们必须对a,b的取值情况加以分类讨论.因为a>b,可由三种情况(1)a>b≥0;(2)a≥0>b;(3)0>a>b.由此得到总有an+bn>an-1b+abn-1.通过本例可以开始渗透分类讨论的数学思想.√(ab)

2. 几何平均-调和平均不等式（GM-HM不对于正实数 a 和 b，有以下不等式成立：等式）：

2/(1/a + 1/b) ≤ √(ab)

3. 算术平均-调和平均不等式（AM-HM不等式）：

这三个基本的均值不等式都描述了不同类型的平均值之间的关系，即算术平均值、几何平均值和调和平均值。它们在求证和优化问题中经常被使用，并且有广泛的应用。

基本不等式解法归纳

不等式的解法：1、找出未知数的项、常数项，该化简的化简。2、未知数的项放不等号左边，常数项移到右边。3、不等号两边进行加减乘除运算。4、不等号两边同除未知数的系数，注意符号的改变。

不等式的解法

注意事项

1.符常用的不等式的基本性质：a>b,b>c => a>c; a>b => a+c>b+c; a>b,c>0 => ac>bc; a>b,cacb>0,c>d>0 => ac>bd; a>b,ab>0 => 1/ab>0 => a^n>b^n; 基本不等式：根号(ab)≤(a+b)/2 那么可以变为 a^2-2ab+b^2 ≥ 0 a^2+b^2 ≥ 2ab 扩展：若有y=x1x2x3.Xn 且x1+x2+x3+...+Xn=常数P,则Y的值为((x1+x2+x3+.+Xn)/n)^n 有两条哦!一个是| |a|-|b| |≤|a-b|≤|a|+|b| 另一个是| |a|-|b| |≤|a+b|≤|a|+|b| 证明方法可利用向量,把a、b 看作向量,利用三角形两边之小于第三边,两边之和大于第三边.柯西不等式：设a1,a2,…an,b1,b2…bn均是实数,则有(a1b1+a2b2+…+anbn)^2≤(a1^2+a2^2+…an^2)(b1^2+b2^2+…bn^2) 当且仅当ai=λbi(λ为常数,i=1,2.3,…n)时取等号.排序不等式：设a1,a2,…an；b1,b2…bn均是实数,且a1≥a2≥a3≥…≥an,b1≥b2≥b3≥…≥bn;则有a1b1+a2b2+…+anbn（顺序和）≥a1b2+a2b1+a3b3+…+aibj+…+anbm（乱序和）≥a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1（逆序和）,仅当a1=a2=a3=…an,b1=b2=b3=…=bn时等号成立.号：

不等式两边都乘以或除以一个负数，要改变不等号的方向。

2.确定解集：

比两个值都小，就比小的还小；

比大的大，比小的小，无解；

3.另外，也可以在数轴上确定解集：

把每个不等式的解集在数轴上表示出来，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集。有几个就要几个。带=号的，数轴上的点是实心的，反之，就是空心的。

基本不等式是主要应用于求某些函数的值及证明的不等式。其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。

在使用基本不等式时，要牢记“一正”“二定”“三相等”的七字真言。“一正”就是指两个式子都为正数，“二定”是指应用基本不等式求值时，和或积为定值，“三相等”是指当且仅当两个式子相等时，才能取等号。

两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。

具体来说，利用基本不等式求值包括下面两种类型的题目：

已知x＞0；y＞0，则：

如果积xy是定值p其中称为的算术平均数， 称为 的几何平均数。，那么当且仅当x=y时，x+y有小值。(简记：积定和小)

“1”的妙用。题目中如果出现了两个式子之和为常数，要求这两个式子的倒数之和的小值，通常用所求这个式子乘以1，然后把1用前面的常数表示出来，并将两个式子展开即可计算。如果题目已知两个式子倒数之和为常数，求两个式子之和的小值，方法同上。

调整系数。有时候求解两个式子之积的值时，需要这两个式子之和为常数，但是很多时候并不是常数，这时候需要对其中某些系数进行调整，以便使其和为常数。

公式

（a＞0，b＞0）

注：当且仅当a=b时取等

2、（a,b同号）

3、

4、

二三个或三个以上不等式组成的不等式组，可以类推。元均值不等式

（调和均值≤几何均值≤算术均值≤平方均值）当且仅当a=b时等号成立

证明

算术证明

当时，两边方得

即当且仅当a=b时，

当且仅当=0时，不等式取等号。

几何证明

在△ABC中，∠BAC=90°，点D为BC的中点，AE为高，设BE=a，EC=b

由射影定理，得AE2=ab

∴AE=

∵在△ABC中，点D为斜边BC的中点

∴当且仅当AD与AE重合，即a=b时等号成立

△ABC

一般地，若是正实数，则有均值不等式

当且仅当a=b时取等号

基本不等式公式四个等号成立条件

如果和x+y是定值p，那么当且仅当x=y时，xy有值。(简记：和定积)

一、 注意基本定理应满足的条件基本不等式具有将“和式”转化为“积式”与将“积式”转化为“和式”的功能，但一定要注意应用的前提：“一正”、“二定”、“三相等”．所谓“一正”是指“正数”，“二定”指应用定理求值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．二 连用基本不等式要注意成立的条件要一致有些题目要多次用基本不等式才能求出结果，针对这种情况，连续使用此定理要切记等号成立的条件要一致．有些题目，直接用基本不等式求值，并不满足应用条件，但可以通过添项，分离常数，平方等手段使之能运用基本不等式，下面我们来看几种经常用到的方法．1添项2分离常数3平方

等号在且仅在 a (a + b)^2 ≥ (2√(ab))^2= b 时成立。

基本不等式有哪些？

(1)若a>b,则a2>b2;() (2)若a>b,则a3>b3;(真)(a + b) / 2 ≥ 2/(1/a + 1/b)

基本不等式是指对于任意非负实数a和b，有以下不等式成立：

a + b ≥ 2√(ab)

要证明为什么只有在a=b时，不等式达到小值，我们可以使用平方公式来分析。首先，我们将不等式的两边同时平方：

a^2 + 2ab + b^2 ≥ 4ab

a^2 - 2ab + b^2 ≥ 0

(a - b)^2 ≥ 0

由于平方的结果总是非负的，所以(a - b)^2 ≥ 0对说明:强调在一步中,说明等号取到的情况,为今后基本不等式求值作思维准备.于任意实数a和b都成立。

当且仅当(a - b)^2 = 0时，不等式取等号。这意味着a - b = 0，即a = b。所以只有当a=b时，不等式达到小值0，也就是说，当a=b时，a + b = 2√(ab)。

因此，基本不等式中的等号仅在a=b时取到，此时取得小值。当a≠b时，不等式成立但不取等号，取得的值大于2√(ab)。

综上所述，基本不等式在a=b时取到小值，而在a≠b时取得较大的值。

高考数学不等式公式整理

关于均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法（数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以证明均值不等式。

.不等式的基本性质:

3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

性质1:如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的传递性).

性质2:如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性).

性质3:如果a>b,c>0,那么ac>bc;如变形果a>b,c<0,那么acb,c>d,那么a+c>b+d.

性质6:如果a>b>0,n∈N,n>1,那么an>bn,且.

例1:判断下列命题的真,并说明理由.

若,则a>b;(真)

若a>b且ab<0,则;()

若a若,则a>b;(真)

若|a|b2;(充要条件)

命题A:a命题A:,命题B:0说明:本题要求学生完成一种规范的证明或解题过程,在完善解题规范的过程中完善自身逻辑思维的严密性.

a,b∈R且a>b,比较a3-b3与ab2-a2b的大小.(≥)

例4:设a>b,n是偶数且n∈N,试比较an+bn与an-1b+abn-1的大小.

练习:

1.若a≠0,比较(a2+1)2与a4+a2+1的大小.(>)

2.若a>0,b>0且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2的大小.(>)

3.判断下列命题的真,并说明理由.

(3)若a>b,则ac2>bc2;() (4)若,则a>b;(真)

什么是基本不等式？

∴∵ 在Rt△ADE中，AD≥AE

“一正”：指两个式子都为正数；“二定”：指应用基本不等式求值时，和或积为定值；“三相等”：指当且仅当两个式子相等时，才能取等号。

比小的大，比大的小，有解在中间。

基本不等式是主要应用于求某些函数的值及证明的不等式。其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。

已知x＞0；y＞0，则：

如果积xy是定值p，那么当且仅当x=y时，x+y有小值2。

如果和x+y是定值p，那么当且仅当x=y时，xy有值。

1、知识点：基本不等式的基本公式及变形，使用时要注意“一正二定三相等”，两个正数的调和平均数小于等于两个正数的几何平均数小于等于两个正数的算术平均数小于等于两个正数的平方平均数，两个正数平方和的两倍大于等于两个正数和的平方，凸函数、凹函数中的不等关系。

3、常用构造定值条件的技巧变换：（1）加项变换 （2）拆项变换 （3）统一变元 （4）平方后利用基本不等式。

4、分式结构的基本不等式题型分类及解决办法。一次比二次型、二次比一次型、二次比二次型：对一次比二次型、二次若a>b,c=d,则ac2>bd2;()比一次型，通常令一次结构部分为t，将y化成关于t的函数，然后分子分母同除以t。对二次比二次型，通常先分离常数，然后再采用上述方法。

初中数学基本不等式公式

比两个值都大，就比大的还大；

在初中的数学学习中，基本不等式是必不可少的一员，我为您整理了一些有关基本不等式的内容，大家来跟着我学习一下吧。

基本推广不等式

a2+b2≧2ab（a,b∈R）

ab≦（a2+b2）/2（a,b∈R）

a+b≧2√ab（a,b∈R﹢）

ab≦【（a+b）/2】2（a,b∈R﹢）

不等式概念

1、不等式是用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

2、不等式的解集是对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。

3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的叫做这个不等式的解的，简称这个不等式的解集。

4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

不等式性质

2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

以上是我整理的初中数学的常用不等式不等式方面的知识，希望给大家带来帮助。