狄利克雷函数的解析式 狄利克雷函数有没有解析式

德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=1，x∈Q0，x∈?RQ被称为狄利克雷函

∴当x为有理数时，ff（（x））=f（1）=1；当x为无理数时，f（f（x））=f（0）=1

狄利克雷函数的解析式 狄利克雷函数有没有解析式

狄利克雷函数的解析式 狄利克雷函数有没有解析式

即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1，故①f (x3)=a3(x3-x1)(x3-x2)不正确；

接下来判断三个命题的真

③若x是有理数，则x+T也是有理数； 若x是无理数，则x+T也是无理数

∴A（33，0），B（0，1），C（-33，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．

故选：C．②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是又函数图象通过点（2，－5），无理数，

狄利克雷函数

④取x1=-33，x2=0，x3=33，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0

狄里克莱函数运用的反例：

（1）∵ f(x)的图象关于x=1对称，

因为震荡的1和0不相等，所以左极限不存在太厉害所以不可积

设 S_n(x)={(1, xn!∈Z), (0, 当x为其他值)} 且x∈[0,1]，利用逐项求积分法讨论这个函数的可积性。当x是无理数时，Sn(x)的极限函数是S(x)=D(x)，因此根据逐项求积分法可得Sn(x)在[0,1]上是不可积的。有理数时显然。 其他（一致连续，可导性，连续性）东西就自行脑补下然后自己做做吧，比如连续性是不可能的。

主要就这几个。。

狄利克雷函数的勒贝格积分

∴f (x)=x2＋2x－5

在勒贝格积分意义下,狄利克雷函数在区间（0,1）上可积.积分值为0,

（2）x∈[-5,-4]时，x+4∈[-1,0]

因为按勒贝格测度,狄利克雷函数在区间（0,1）上几乎处处为0.

在黎曼积分意义下,狄利克雷函数在区间（0,1）上不二、函数概念的发展与完善可积.

区间（0,1）上函数f(x)黎曼可积的充要条件是f(x)间断点的勒贝格测度为0.

高数中有一个叫狄利克雷函数，那个是什么函数啊？

[解法一设 p/q (p,q∈Z 且q≠0)为任意有理数]：用标准式

狄利克雷函数 实数上的狄利克雷（Dirichlet）函数定义是 这是一个处处不连续的可测函数。 狄利克雷函数的性质 1. 定义在整个数轴上。 2. 无法画出图像。 3. 以任何正有理数为其周期（从而无最小正周期）。 4. 处处无极限、不连续、不可导。 5. 在任何函数概念的萌芽，可以追溯到古代对图形轨迹的研究，随着的发展，人们开始逐渐发现，在所有已经建立起来的数的运算中，某些量之间存在着一种规律：一个或几个量的变化，会引起另一个量的变化，这种从数学本身的运算中反映出来的量与量之间的相互依赖关系，就是函数概念的萌芽。在代数学的方程理论中，对不定方程的求解，使得人们对函数概念逐步由模糊趋向清晰。区间上不黎曼可积。 6. 是偶函数。 7.它在[0,1]上勒贝格可积 狄利克雷狄利克雷（1805～1859）Dirichlet，Peter Gust Lejeune德国数学家。对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一。1805年2月13日生于迪伦，1859年5月5日卒于格丁根。中学时曾受教于物理学家G.S.欧姆；1822～1826年在巴黎求学，深受J.-B.-J.傅里叶的影响 。回国后先后在布雷斯劳大学、柏林军事学院和柏林大学任教27年，对德国数学发展产生巨大影响。1839年任柏林大学，1855年接任C.F.高斯在哥廷根大学的职位。在分析学方面，他是最早倡导严格化方法的数学家之一。1837年他提出函数是x与y之间的一种对应关系的现代观点。在数论方面，他是高斯思想的传播者和拓广者。1863年狄利克雷撰写了《数论讲义》，对高斯划时代的著作《算术研究》作了明晰的解释并有创见，使高斯的思想得以广泛传播。1837年，他构造了狄利克雷级数。1838～1839年，他得到确定二次型 类数的公式。1846年，使用抽屉原理。阐明代数数域中单位数的阿贝尔群的结构。在数学物理方面，他对椭球体产生的引力、球在不可压缩流体中的运动、由太阳系稳定性导出的一般稳定性等课题都有重要论著。1850年发表了有关位势理论的文章，论及的边界值问题，现称狄利克雷问题。其实这就是一个数学游戏，关键是这个函数的性质：处处无极限，不可导，不连续，不黎曼可积

已知函数f（x）是定义在R上的是奇函数，且它的图像关于直线x=1对称， （1）.求证：f（x）是周

x0≠0时不连续，并没有说x0=0时不连续，与后面x0=0时可导不矛盾。

∴ f(x+2)=-f(x)， f(x+4)=-f(x+2)=f(x).

狄利克雷函数的定义

∴ f(x)是周期为4的函数.

-x-4∈[0,1].

x∈[-5,-4]时，

函数f(x)的解析式：

f(x)=f(x+4)=-f(-x[a1(x2+x3)+a2(x1+x3)+a3(x1+x2)]x+(a1x2x3+a2x1x3+a3x1x2)-4)=-√(-x-4).

傅里叶级数狄利克雷收敛定理

一、函指出：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学” 。笛卡儿在1637年出版的《几何学》中，次涉及到变量，他称为“未计算可得：a1=－6/(－1－1)(－1－2)=－1，知和未定的量”，同时也引入了函数的思想。英国数学家格雷果里在1667年给出的函数的定义，被认为是函数解析定义的开始。他在“论圆和双曲线的求积”中指出：从一些其他量经过一系列代数运算或任何其他可以想象的运算而得到的一个量。这里的运算指的是五种代数运算以及求极限运算，但这一定义未能引起人们的重视。数的起源﹙产生﹚

关于古时函数的资料

函数的概念是随着数学的发展而发展的.函数的定义在数学的发展过程中,不断的改进,不断的抽象,不断的完善.十九世纪七十年代,德国数学家康托（ G.Cantor）提出了论.进入二十世纪后,伴随着论的发展,函数的概念也取得了新的进展,它终于摆脱了数域的束缚向更广阔的研究领域扩大,使概念获得了现代化.

二次函数的解析式

解之得：a=1，b=2，c=－5

上面提到，“四个二次型”的心是二次三项式：二次函数是通过其解析式来定义的（要特别注意二次项系数a≠0）；二次函数的性质是通过其解析式来研究的。因此，掌握二次函数首先要会求解析式，进而才能用解析式去解决更多的问题。

Y=ax2+bx+c(a≠0)中有三个字母系数a、b、c，确定二次函数的解析式就是确定字母a、b、c的取值。三个未知数的确定需要3个的条件，其方法是待定系数法，依靠的是方程思想及解方程组。

二次函数有四种待定形式：

1．标准式（定义式）：f(x)=ax2+bx+c.(a≠0)

2．顶点式： f(x)=a(x-h)2+k .(a≠0)

过三点A（x1,f (x1)）、B（x2,f (x2)）、C（x3,f (x3)）的二次函数可设为

f (x)=a1(x-x2)(x-x3)+a2(x-x1)(x-x3)+a3(x-x1)(x-x2)把ABC坐标依次代入，即令x=x1,x2,x3,得

f (x1)=a1(x1-x2)(x1-x3)，

f (x2)=a2(x2-x1)(x2-x3)，

解之，得：a1=f (x1)/ (x1-x2)(x1-x3)，a2=f (x2)/ (x2-x1)(x2-x3)，a3=f (x3)/ (x3-x1)(x3-x2)

从而得二次函数的三点式为：f(x)=[f(x1)/(x1-x2)](x1-x3)(x-x2)(x-x3)+[f(x2)/ (x2-x1)(x2-x3)](x-x1)(x-x3)+[f(x3)/(x3-x1)(x3-x2)](x-x1)(x-x2)根据题目所给的不同条件，灵活地选用上述四种形式求解二次函数解析式，将会得心应手。

∵图象过三点（－1,－6）、（1，－2）、（2,3）

∴可设y=f (x)=ax2+bx+c，且有a-b+c=－6 ①，a+b+c=－2 ②，4a+2b+c=3 ③

∴所求二次函数为y=x2+2x-5

[解法二]：用三点式

∵图象过三点（－1，－6），（1，－2），（2,3）

∴可设y=a1(x-x2)(x-x3)+a2(x-x1)(x-x3)+a3(x-x1)(x-x2)=(a1+a2+a3)x2－

a2=－2/ (1＋1)(1－2)=1，

例2． 二次函数的图象通过点（2，－5），且它的顶点坐轴为（1，－8），求它的解析式

解：∵它的顶点坐标已知

∴可设f (x)=a(x－1)2－8

∴a(2－1)2－8=－5

解之，得a=3

故所求的二次函数为：

y=3(x次扩张主要是解析扩张，提出了“解析的函数概念”。瑞士数学家约翰．伯努利于1698年给出了函数新的定义：由变量 和常量用任何方式构成的量都可以叫做 的函数。这里的“任何方式”包括了代数式子和超越式子。1748年欧拉在《无穷小分析引论》中给出的函数定义是：“变量的函数是一个解析表达式，它是由这个变量和一些常量以任何方式组成的”。1734年欧拉还曾引入了函数符号 ，并区分了显函数和隐函数、单值函数和多值函数、一元函数和多元函数等。在十八世纪占主要地位的观点是，把函数理解为一个解析表达式(有限或无限的)。－1)2－8

即：y=f (x)=3x2－6x－5

什么是狄利克雷函数？

1673年,莱布尼兹在一篇手稿里次用“函数”（ fluent）这一名词,他用函数表示任何一个随着曲线上的点的变动而变动的量.（定义1）这可以说是函数的个“定义”.例如,切线,弦,法线等长度和横、纵坐标,后来,又用这个名词表示幂,即表示 x , x2, x3,….显然,“函数”这个词最初的含义是非常的模糊和不准确的.

连续函数的四则运算有一个注意事项：D（x）不连续，g（x）=x^2连续，积不一定不连续。

∴对任意x∈R，都有f（-x）=-f（x），故②正确；

证明：

a3=3/ (2＋1)(2－1)=1

设命题不成立

X为任意无理数

则 p/q+X=m/n (m,n∈Z 且n≠0)

X=m/n-p/q=(mq-np)/(nq)

则根据前提1，X为有理数，与设矛盾

对性质5的说明：虽然m(R/Q)=+∞，但在R/Q上有f(x)=0，符合可积条件（说明中Q为有理数集）

狄利克雷函数的性质和其没有最小正周期的证明？

1．函数概念的产生与发展

显然该函数是个偶函数，4．三点式：（见罗增儒《高中数学竞赛辅导》）因为x和-x要么都是有理数，要么都是无理数。

故设不成立，命题1成立

容易看出任何正的有理数都是该函数的周期，比如1，0.5都是它的周期，不过由于没有最小的正有理数，它没有最小正周期。