点到平面的距离公式：几何学中的重要工具

点到平面的距离公式是几何学中一个重要的公式，用于计算一个点与一个平面之间的距离。该公式在建筑、工程、计算机图形和许多其他领域都有广泛的应用。

点到平面的距离公式：几何学中的重要工具

公式推导

设点为 (P(x_0, y_0, z_0))，平面为 (Ax + By + Cz + D = 0)。平面上的法向量为 (mathbf{n} = (A,B,C))。点到平面的距离 (d) 可以表示为：

$$d = frac{|(P - P_0) cdot mathbf{n}|}{Vert mathbf{n} Vert}$$

其中，(P_0) 是平面上任意一点。

展开公式并化简得到：

$$d = frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$

应用实例

1. 建筑设计：计算天花板和地板与支撑梁之间的垂直距离，确保结构的稳定性。

2. 工程测量：确定道路和桥梁等结构与地面的距离，以计算坡度和高度差。

3. 计算机图形：在 3D 建模中，计算点到多边形平面的距离，以实现场景中的碰撞检测和遮挡效果。

例子

设点 (P(2, -1, 3)) 和平面 (x + y - 2z + 5 = 0)。计算点到平面的距离。

$$d = frac{|(2 + (-1) - 2(3) + 5)|}{sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2}}$$

$$d = frac{|0|}{sqrt{6}} = 0$$

因此，点 (P) 与平面重合（即距离为 0）。

结论