全微分基本公式是一个微积分中的重要公式，它描述了多变量函数全微分与变量变化的关系。对于一个可微函数 z = f(x, y)，它的全微分表示为：
全微分基本公式：z 的变换法则
``` dz = f_x(x, y) dx + f_y(x, y) dy ```
其中 f_x 和 f_y 分别是 z 关于 x 和 y 的偏导数。
推导
全微分基本公式可以从隐函数微分定理中推导出。根据该定理，如果 z 是关于 x 和 y 的隐函数，即 z 满足等式 F(x, y, z) = 0，那么 z 的全微分可以表示为：
``` dz = -F_x(x, y, z) dx - F_y(x, y, z) dy ```
如果将 F(x, y, z) = f(x, y) - z 代入以上公式，并注意到 F_x(x, y, z) = f_x(x, y) 和 F_y(x, y, z) = f_y(x, y)，就能得到全微分基本公式。
应用
全微分基本公式有许多重要的应用，例如：
近似：如果 x 和 y 的变化很小，则 z 的变化可以近似为 dz = f_x(x, y) dx + f_y(x, y) dy。 链式法则：如果 z 是 x 和 y 的复合函数，则它的全微分可以通过链式法则求得。 曲面法线向量：对于一个光滑曲面，全微分基本公式可以用于计算曲面的法线向量。 误差传播：在工程和科学中，全微分基本公式可用于估计函数值的变化量如何受到输入变量变化量的影响。
例子
考虑函数 z = x^2 + y^3。它的全微分为：
``` dz = 2x dx + 3y^2 dy ```
这意味着如果 x 从 1 变到 1.1，y 从 2 变到 2.1，那么 z 的变化量约为：
``` Δz ≈ dz = 2(1)(0.1) + 3(2)^2(0.1) = 0.6 ```
总结
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