高考几何数学思维训练_高考数学几何知识点

学生思维训练有哪些方法

“千年难题”之六：纳维叶－斯托克斯(Nier-Stokes)方程的存在性与光滑性

21世纪的发展，需要的是会学习，会思考的人，而会学习，会思考必然从学生抓起，下面我为你整理学生 思维训练 方法 ，希望能帮到你。

高考几何数学思维训练_高考数学几何知识点

高考几何数学思维训练_高考数学几何知识点

高考几何数学思维训练_高考数学几何知识点

学生思维的训练方法

1、鼓励学生标新立异，培课堂教学中，应充分发挥学生与学生间思维成果的传递所产生的思维激励作用养求异思维。

数学教学中，教师在进行数学思维 教育 的同时，应多鼓励学生用新方法、新思路，拓宽思维领域，以克服思维的呆板性，促进灵活性，培养学生多角度、全方位思维的习惯，加快思维速度，以培养学生创造性思维。

2、注意专题研究、培养学生思维的发散性。

利用书本知识进行专题研究。归纳辅助线作法：解：在学完平面几何《梯形》一节后，学生认识到如何添加梯形辅助线是证题解题的关键，故在教学中“以梯形中辅助线添加方法”为发散点进行专题讨论，由各种题型为对象，学生归纳出梯形六种辅助线的添加法，学生在归纳 总结 中即掌握了知识、习题解法规律、技巧，同时从多角度、多方位研讨了辅助线的作法。

数学学科本身具有科学性，只想性，系统性，逻辑性，严谨性，它追求合谐、完善、富有挑战性。教学中教师可根据学生知识和心理需求，利用学生好奇、好问、善思，设置专题，巧造发散点，以培养学生 发散思维 能力。

3、提倡“各抒已见”培养学生思维的批判性

思维的批判性是科学思维的素质之一，批判性往往是与严谨同生的，它是创造的主线。

4、灌输变换思想，培养学生灵活性

数学变换是教学中的一个重要思想，是指从某一重要的数学知识、技能或方法出发加以，或围绕着某一典型性的问题对学生进行变换思想，变换方法的集中训练逐步使学生形成用变换思想来改变题型结构的习惯和能力。

一题多解与一题多变也是教学中的使用最为广泛的思维训练方法，通过这两种方法的探求，可使学生把教学知识、技能及方法和隐含的数学思想进行串联，使之网络化、规律化，同时在问题的求解过程中也使学生感受到数学问题所具有的感染力和矛盾转化规律的辩证思想，感受数学的内在美。

6、建立数学模型，养成数学思维的创新。

21世纪的发展，需要的是会学习，会思考的人，而会学习，会思考必然从学生抓起，学生是一切教育活动的主体，又是未知事物的求学者、探索者，教学给学生会用比较法、观察法、发现法、求异法、 逆向思维 法，我认为还不够，建立数学模型，养成数学思维的品质才是未来数学教师的着研点，笛如尔说：“万物皆数”，这话有点过大，但他却奠定了解析几何的发展。因此，我在平时教学中，注意每日一题，思维训练题，每日一问，由学生自己提问题，班级学生共同解答，学生的问题中有许多不属于数学思维范畴，却可以培养学生思维，有些问题可以训练学生合理建立数学模型。例，有一楼梯要铺设地毯，问至少需多长?这类问题实例很多，它既锻炼学生实际作，又教给学生有效地建立数学模型，养成收集问题，处理问题的品质。

1、灵活使用逻辑。有 逻辑思维 能力不等于能解决较难的问题，仅就逻辑而言，有使用技巧问题。何来?熟能生巧。学数学可知，解题多了，你就知道必须出现怎样的情况才能解决问题，可叫数学哲学。总的来说，文科生与理科生异在此，不在逻辑思维的有无。同时，现实中人们认为逻辑思维能力强的，实际上是思想能力强，并无分文理。而且思想也不是逻辑地得到，而是逻辑地说明。

2、参与 辩论 。思想在辩论中产生，包括自己和自己辩论。例如关于是高于人权还是相反，我认为是保护人权的大于人权，不能包括导致国王享用婴儿宴的，既必须界定，前者有条件成立。导致该认识的原因是有该问题辩论，否则不会去想。

3、坚守常识。其实我很轻松得到关于人权的个人结论，原因是不论专家怎么宏论，我不认同的道理只有一个，我坚守谁都不愿意自己的正当权利被侵犯，除非不得已这样的常识。因为坚守这个常识，就要具体分析比如保有的权利，该权利会在不同情况下要求国民承担不同义务，战时似乎侵犯人权，但这是为每个人安几何证明题入门难，证明题难做，是许多学生在学习中的共识，这里面有很多因素，有主观的、也有客观的，学习不得法，没有适当的解题思路则是其中的一个重要原因。掌握证明题的一般思路、探讨证题过程中的数学思维、总结证题的基本规律是求解几何证明题的关键。在这里结合自己的教学经验，谈谈自己的一些方法与大家一起分享。全需要的一种付出，必须具有正当性。可见坚守常识及逻辑地得到的结论的重要性。要注意的是，归纳得到的结论不能固守，因为归纳永远是归纳事物的一部分，不可能是全部，它违反部分怎样不等于全部怎样的常识，例如哲学。人常常用哲学说明问题，总是从一个一般到另一个一般，所以说而不明，好象不会逻辑思维，谬矣。

4、敢于质疑。包括权威结论和个人结论，如果逻辑上明显解释不通时。

思维训练相关 文章 ：

1. 思维训练

2. 逻辑思维训练题目及

3. 逻辑思维训练500题

4. 逆向思维训练

5. 自闭症孩子的教育思考:浅谈思维训练

高中数学有哪些题型、知识点、解题思路？

6．物理学的公理化希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力学。1933年，数学家柯尔莫哥洛夫实现了将概率论公理化。后来在量子力学、量子场论方面取得了很大成功。但是物理学是否能全盘公理化，很多人表示怀疑。

高考前的总复习是高中三年来的攻坚阶段.采取什么样的复习方法才能提高复习效率,这是我们每个高三数学老师面临的一个重要课题.以下是作者结合以往多年的探讨,谈谈自己关于高考复习的思路及方法.

一、 梳理知识体系,重点落实”三基”

轮复习的关键“各抒己见”的过程实际上是对问题重新认识的过程，这不仅培养了学生科学的态度和用新的角度解决问题的习惯，更重要的是学生在肯定、否定到 反思 原先思维的过程中，逐步形成了严谨、求真的科学态度，这将使学生受益终身。依据就是对各种题型的特点，考查内容的目的和意义做详细的说明，已经熟悉的可以弱化，并对每种题型拥有的各种解法作简述，以明确这种解法对题型的适用性和作性。<<教学大纲>>,对高中数学教材的所有内容以及省高考指导丛书分册中的<<考试说明>>要分析透彻,对所有知识点进行全面的梳理.

知识点主要包括:函数及其图象,解不等式,三角函数，导数，数列，排列组合，二项式定理，概率，向量，立体几何，解析几何。

在轮复习中,着重从以下三点入手:

1、 对知识系统梳理

就是从知识梳理的角度出发,对每单元的知识点从了解、掌握熟练掌握这几个层次进行归纳总结,并指明本单元中的哪些知识点是高考命题的热点问题(即为复习重点),把握本单元教学的重难点及关键.轮分析不宜速度太快,但要面面俱到,细而实,全而稳,为防止遗漏一些知识点,力保基础扎实,基本技能娴熟和教学思路清楚,做到这”三基”是轮复习的基本目标.

2、合理的选择复习资料

首先对进三年来我省高考试卷和全国各省高考题为素材，把既能体现本单元重点考查的知识点又是各省高考题中的重点试题加以精选，进行分析讲解，归纳取其精华。这是毕业班教师必须完成的工作，不要再让学生在题海里遨游了。

在复习中，教师的导向作用十分重要。现在上流传的复习资料名目繁杂，参不齐，教师必须精选精编，始终以教材为基础，复习指导丛书为蓝本，另再精选一套有质量的配套资料即可，让学生达到自我意识，自我分析，自我调节的良好学习状态，以优化解题方法，掌握解题规律。

3、 对典型例题、习题进行分析和评析

在复习中，对学生加强能力训练，对每个单元的知识点要寻找联系重点，教师紧扣这些知识点，选取典型例题习题进行评析，同时再编写或精选一些练习题，组织学生加以练习，以检查每个单元学生掌握这些知识点的实际情况及时反馈信息，在复习中也适当进行知识小综合，做到前后呼应，谨防遗漏知识点，增强复习的效果。

二、 分析题型，训练学生思维

在轮复习的基础上，过了单元以后要进一步帮助学生将知识系统化，提高解题的综合能力，为此，进行第二轮复习。这轮复习的关键是在原来的基础上进一步提高，这就需要研究近十年来高考的数学的题型，出卷各类题型的先后顺序，近十年高考来的热点问题。一句话：认真探究高考命题的规律，牢牢把握高考命题的动向。

为提高应试的能力，对目前已经出现的选择题、填空题、解答题、计算题、证明题、应用题、创新题（开放探索题，解意自编题，阅读理解题）和压轴题材等各类题型进行一次单一的训练（及专题练习），然后加以分析和归纳，以展示各种题型所表现出的各种思考策略和解题方法，从而达到开拓学生的解题思路，提高学生分析问题，解决问题的能力的目的。

对题型的分析具体可以按以下三方面进行

① 题型介绍

② 考题分析

对近十年的本省和全国高考题为素材，选取和题型有关的考题进行分析，以体现各种解法的可行性，用已经学过的高中数学的基础知识去解答。

③ 练习题训练

围绕各种题型，选配一套与之相关的练习题，这些题目来源于教材及高考考题，以检查学生对各种题型掌握的情况，通过对题型全面而有针对性的研究，使学生能适应新题型的不断变化，掌握各种解题思路，特别是对压轴题，创新题能全方位的提示考题的本来面目，克服对压轴题和创新题的畏惧心理，增加求胜的信念。

由于客观题的总题量明显偏多，这就需要考生在解题时必须牢记解题的知识和方法，具体一定的速度，才能迅速识别试题，作出判断，进行快速解答。因此，在第二轮的习题训练时要同时注重强化解题速度和提高解题的准确率。

三、 综合训练，培养能力、

学生经过近三年的学习和两轮复习，学生的基础知识已经基本过关，基本方法也已熟练掌握，第三轮复习由此开始。第三轮复习是综合训练，为此，需要做好以下两件事：

精心准备综合训练题（5－6套不多就够了）试卷一方面是要以“三基”为主，全面覆盖；另一方面又要是教材重点和考试热点，有针对性的强化，它的综合性和信息的时效性都是平时作业和单元过关考试无法代替的。前面两论复习是以老师评讲为主，现在则是以学生的训练为主，再让学生做几套模拟实战的综合训练题，真实的反映自己的水平。教师再进行针对性的讲解，给学生一个深层次的提高，做到进一步训练思维能力，培养思维品质，提高实战时的分析问题和解决问题的能力。

2、 要让学生积累考试经验，防止以后高考的怯场

第三轮复习已经临近高考，故的两套模拟试卷的试题难度要适当，具有安慰性和稳定性。切忌出怪题、偏题以及过难的综合体。考过后一定要立即批改加以评讲，对考的学生要大力表扬，并指出不足；对考的的学生要加以鼓励，以增强其即将投入高考的信心。

对这两套模拟题的准备要做到四个心里有数：①还要加强教材中哪些知识点②还要考查哪几种数学思维方法以及思维能力③还要纠正学生解题中常见的错误。④还要解决哪些数学中的思维障碍。

同时还要向学生指出，并不因为前几次考试不理想而影响高考实际水平的发挥。这时千万不能盲目照搬外地的试卷，能够再一次的通过这两次的考试，总结前阶段的学习和考试的经验，力争做到知己知彼，百战不殆。此外还要消除思想障碍，稳定思想情绪，以良好的身体状态，心理状态进入考场。限度的发挥自己实际的应有水平，考出理想的成绩。

数学是必考科目之一，故从初一开始就要认真地学习数学。那么，怎样才能学好数学呢？现介绍几种方法以供参考：

一、课内重视听讲，课后及时复习。

新知识的接受，数学能力的培养主要在课堂上进行，所以要特点重视课内的学习效率，寻求正确的学习方法。上课时要紧跟老师的思路，积极展开思维预测下面的步骤，比较自己的解题思路与教师所讲有哪些不同。特别要抓住基础知识和基本技能的学习，课后要及时复习不留疑点。首先要在做各种习题之前将老师所讲的知识点回忆一遍，正确掌握各类公式的推理过程，庆尽量回忆而不采用不清楚立即翻书之举。认真完成作业，勤于思考，从某种意义上讲，应不造成不懂即问的学习作风，对于有些题目由于自己的思路不清，一时难以解出，应让自己冷静下来认真分析题目，尽量自己解决。在每个阶段的学习中要进行整理和归纳总结，把知识的点、线、面结合起来交织成知识网络，纳入自己的知识体系。

二、适当多做题，养成良好的解题习惯。

要想学好数学，多做题目是难免的，熟悉掌握各种题型的解题思路。刚开始要从基础题入手，以课本上的习题为准，反复练习打好基础，再找一些课外的习题，以帮助开拓思路，提高自己的分析、解决能力，掌握一般的解题规律。对于一些易错题，可备有错题集，写出自己的解题思路和正确的解题过程两者一起比较找出自己的错误所在，以便及时更正。在平时要养成良好的解题习惯。让自己的精力高度集中，使大脑兴奋，思维敏捷，能够进入状态，在考试中能运用自如。实践证明：越到关键时候，你所表现的解题习惯与平时练习无异。如果平时解题时随便、粗心、大意等，往往在大考中充分暴露，故在平时养成良好的解题习惯是非常重要的。

首先，应把主要精力放在基础知识、基本技能、基本方法这三个方面上，因为每次考试占绝大部分的也是基础性的题目，而对于那些难题及综合性较强的题目作为调剂，认真思考，尽量让自己理出头绪，做完题后要总结归纳。调整好自己的心态，使自己在任何时候镇静，思路有条不紊，克服浮躁的情绪。特别是对自己要有信心，永远鼓励自己，除了自己，谁也不能把我打倒，要有自己不垮，谁也不能打垮我的自豪感。

在考试前要做好准备，练练常规题，把自己的思路展开，切忌考前去在保证正确率的前提下提高解题速度。对于一些容易的基础题要有十二分把握拿全分；对于一些难题，也要尽量拿分，考试中要学会尝试得分，使自己的水平正常甚至超常发挥。

由此可见，要把数学学好就得找到适合自己的学习方法，了解数学学科的特点，使自己进入数学的广阔天地中去。

解题思路：数形结合。

高考中选择题和填空题大部分可以用图解法来解。

做出y=sinx和 y=x-0.4π的图像，并找到两条曲线的交点。

在大学学习解微积分时用处可大了。

在解析几何中几何图形的解析式可以换化成参数方程，

这样比较直观。

高中数学的压轴题难度怎么样，适合哪类学生研究呢？

八、证18．用全等多面体构造空间。由德国数学家比勃马赫（10）、荚因哈特（1928）作出部分解决。明比例式或等积式

高中数学压轴题难度是非常大的，而且的压轴题就是用来真正选拔大学人才的，想要数学考高分的话，除了该对的题要保证做对以外，一道题也是要下功夫去钻研的，非常适合学习成绩特别好的学生去研究。

5、注意答题顺序和时间规划：广东高考数学科目中，不同题型的出题深度、难度和时常都不同，考生应该好好掌握答题顺序和时间规划。通常建议先把易做的作业完成，以后再解决较难的作业。

大多数的高考数学压轴题的难度大概是在4星半到五星，这些题适合那些尖子生去研究的，但实际上高考压轴题他们是分好几问来问的，一般的学生如果他们能够仔细思考的话，通常也能够做出第1问或者第2问的。

难度都是比较高的，适合一些比较聪明的学生，对于基础知识没有任何问题的学生进行研究。

平面几何为什么难住了我们，以及对各阶段孩子思维训练

5、寻求一题多解，挖掘一题多变，培养学生辩证思维。

平面几何侧重逻辑推理，这对大家都是不太熟悉的，所以常常被难住了。

应从基本图形开始，学习好最简单推理。由8、利用勾股定理的逆定理。简到9、同圆(或等圆)中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。繁，逐步提高。

要熟记基本作图的作法(文字、图形、符号).

很难的数学题

6、线段垂直平分线上任意一点到线段两端距离相等。

世界七大数学难题：

这七个“千年问题”是： NP完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼设、杨－米尔斯理论、纳卫尔－斯托可方程、BSD猜想。

美国麻州的克雷（Clay）数学研究所于2000年5月23．变分法的进一步发展出。这并不是一个明确的数学问题，只是谈了对变分法的一般看法。20世纪以来变分法有了很大的发展。24日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事：对七个“千年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。

“千年难题”之一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题

在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉你，数13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因式分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克于1971年陈述的。

“千年难题”之二：霍奇(Hodge)猜想

二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导致一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。

“千年难题”之三：庞加莱(Poincare)猜想

如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。

在2002年11月和2003年7月之间，的数学家格里戈里·佩雷尔曼在arXiv发表了三篇论文预印本，并声称证明了几何化猜想。

在佩雷尔曼之后，先后有3组研究者发表论文补全佩雷尔曼给出的证明中缺少的细节。这包括密西根大学的布鲁斯·克莱纳和约翰·洛特；哥伦比亚大学的约翰·摩根和麻省理工学院的田刚；以及理海大学的曹怀东和中山大学的朱熹平。

2006年8月，第25届数学家大会授予佩雷尔曼菲尔兹奖。数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。

“千年难题”之四：黎曼(Riemann)设

有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2、3、5、7……等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s$的性态。的黎曼设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。

“千年难题”之五：杨－米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口

量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨－米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实：布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。

起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳维叶－斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶－斯托克斯方程中的奥秘。

“千年难题”之七：贝赫(Birch)和斯维讷通－戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想

数学家总是被诸如x2+y2=z2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通－戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特别是，这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解)，相反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点。

2．算术公理的相容性欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性。希尔伯特曾提出用的证明论方法加以证明。1931年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法。1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性。1988年出版的《大百科全书》数学卷指出，数学相容性问题尚未解决。

3．两个等底等高四面体的体积相等问题。问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。M.W.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。

4．两点间以直线为距离最短线问题。此问题提得过于一般。满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件。1973年，数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决。《大百科全书》说，在希尔伯特之后，在构造与探讨各种特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决。

5．一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不定是可微的这个问题简称连续群的解析性，即：是否每一个局部欧氏群都有一定是李群？中间经冯·诺伊曼（1933，对紧群情形）、庞德里亚金（1939，对交换群情形）、谢瓦荚（1941，对可解群情形）的努力，1952年由格利森、蒙哥马利、齐宾共同解决，得到了完全肯定的结果。

7.某些数的无理性与超越性1934年，A.O.盖尔方德和T.施奈德各自地解决了问题的后半部分，即对于任意代数数α≠0，1，和任意代数无理数β证明了αβ的超越性。

10．丢番图方程的可解性。能求出一个整系数方程的整数根，称为丢番图方程可解。希尔伯特问，能否用一种由有限步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性？1970年，的IO.B.马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的算法不存在。

11．系数为任意代数数的二次型。H.哈塞（1929）和C.L.西格尔（1936，1951）在这个问题上获得重要结果。

12．将阿贝尔域上的克罗克定理推广到任意的代数有理域上去这一问题只有一些零星的结果，离解决还相很远。

14．证明某类完备函数系的有限性。这和代数不变量问题有关。1958年，日本数学家永田雅宜给出了反例。

15．舒伯特计数演算的严格基础一个典型问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观解法。五要归纳总结。很多同学把一个题做出来，长长的松了一口气，接下来去做其他的，这个也是不可取的，应该花上几分钟的时间，回过头来找找所用的定理、公理、定义，重新审视这个题，总结这个题的解题思路，往后出现同样类型的题该怎样入手。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学不密切联系。但严格的基础迄今仍未确立。

16．代数曲线和代数曲线面的拓扑问题这个问题分为两部分。前半部分涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的数目。后半部分要求讨论的极限环的个数和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式.的彼得罗夫斯基曾宣称证明了n=2时极限环的个数不超过3，但这一结论是错误的，已由数学家举出反例（1979）。

17．半正定形式的平方和表示。一个实系数n元多项式对一切数组(x1,x2,…,xn)都恒大于或等于0，是否都能写成平方和的形式？1927年阿廷证明这是对的。

19．正则变分问题的解是否一定解析。对这一问题的研究很少。C.H.伯恩斯坦和彼得罗夫斯基等得出了一些结果。

20．一般边值问题这一问题进展十分迅速，已成为一个很大的数学分支。目前还在继续研究。

21．具有给定单值群的线性微分方程解的存在性证明。已由希尔伯特本人（1905）和H.罗尔（1957）的工作解决。

22．由自守函数构成的解析函数的单值化。它涉及艰辛的黎曼曲面论，1907年P.克伯获重要突破，其他方面尚未解决。

P(至少有两个人上同一车厢)

=P(两个人上同一车厢)+P(三个人上同一车厢)

=10( 3C2 .(1/10)^2. (9/10) + (1/10)^3)

=10(27/1000 + 1/1000)

= 7/25

高考数学 解析几何 和函数与导数 解题技巧

譬如sinx-x=-0.4π怎么解x？

建议你将这两块的知识的各大市的试卷上的问题做一个专题的整理，把题目摘抄下来先逐一解决，然后再对比归纳出方法和一些经验！这样可以对两块问题有一个整体的把握！如，圆锥曲线中的焦点问题定义解题的意识是否形成

建议同学在做几何时，用坐标法，思维简单，但要头脑清晰，提高运算速度三、调整心态，正确对待考试。就能很快算出来

函数与导数一二问一般比较简单，不要纠结于一个题目。平时多总结各题型的解题技巧，做题时想的就广泛一些，具体还要靠自己。

平常时做练习的时候就要养成先自己做一遍，然后再去校对，校对完又自己再重新做一遍，一来加深记忆，二来规范自己的答题模式，再有，自己要多练多点总结才能将一般性的答题解题规律熟悉，考起试来就轻松好多

解析几何对于过焦点的线段问题可以用极坐标法，即用第二定义，即用该线段与坐标轴夹角做参量。其他的基本套路5、 利用一些定理(三角形的中位线、 含30度的直角三角形、直角三 角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等)。，如点法要熟悉。比较天星的试题调研，里边有关于各知识模块的方法归纳。 话说有的省的数学解几就是很难。 做卷子并不一定要非把所有题做出来。一般情况下，能有130多也就比较好了。

学数学思维对孩子有帮助吗

1、 精编模拟试题，了解考前信息，提高实战能力。

学数学思维对孩子有很大的帮助。

1、培养逻辑思维能力：数学思维训练可以培养孩子的逻辑思维能力，让他们更善于捕捉问题的本质并迅速找到解决问题的方法。

2、提高注意力和耐性：数学思维训练需要孩子具备一定的专注度、持久性和耐心。训练过程中，孩子需要认真审题、推理思考，这样也可以提高孩子在数学考试中的表现。

3、增强抽象思维能力：数学思维训练需要孩子进行思考、找到问题与的映射关系，并且需要利用数学语言和符号记录过程和结果。这样的思维训练可以帮助孩子更好地理解和应用数学知识。

4、提高解决问题的能力：数学思维训练注重问题解决的方法在进一学期的高中数学数学复习中,如何能够根据时间紧,要求高,任务重,知识覆盖面大的特点进行高效的复习,笔者主要采用了三轮复习法.和思路，强调孩子遵循科学的思维规律去分析和解决问题。这样的训练可以提高孩子的实际问题解决能力，从而帮助孩子在数学考试中有效地解决问题。

学习数学思维的方法：

1、培养数学兴趣：培养数学兴趣是学习数学思维的基础。可以通过解决有趣的数学问题、参加数学竞赛、阅读数学故事等方式来提高数学兴趣。

2、建立数学基础：学习数学需要掌握一定的基础知识，例如算术、代数、几何等。建立坚实的基础是培养数学思维的关键。

3、掌握数学思想：数学思想是数学思维的核心。掌握数学思想可以帮助孩子更好地理解数学知识和解决数学问题。

4、练习解决问题：数学思维的一个重要应用就是解决数学问题。通过大量的练习，可以锻炼孩子的解题能力和思维水平。

5、使用数学工具：使做为一名数学教师要尽可能地利用现有条件为学生创设一个广阔的、无限的思维空间，使学生思维创新快速发展。用数学工具可以帮助孩子更好地理解数学知识，例如计算器、数学软件等。

6、与他人讨论：与他人讨论数学问题可以帮助孩子更好地理解数学知识和解决问题。可以和其他学生一起讨论，也可以向老师请教。

7、创新性思考：通过创新性思考，可以培养孩子的创造性思维和批判性思维，这对于培养数学思维非常有帮助。可以通过提出自己的想法和意见，尝试新的解题方法等方式来锻炼创新性思考能力。

广东高考数学难吗2023

4、取长线段的中点,再证其半等于短线段。

2023广东高考数学难度适中。

锻炼大脑思维的方法

广东高考数学科目的考试时间一般为150分钟，总分为150分，是全省高考中最受重视的科目之一。具体考试形式多样，包括填空、选择、计算、证明等题型，难度和类型也时常发生变化。

学生抓住思维的起始点

广东高考数学试题偏重基础性知识的掌握和思维能力的运用，包括解题方法、技巧和思维训练等方面。其中，数学解题方法要在课堂上认真学习，理论结合实践，并不断加强预习和复习。同时，考生还需要注重思维能力和解题技巧的训练，尤其是在复杂的数学问题中，要掌握分析、想象、创新、推理等思维能力。

在备考过程中，考生需要注意掌握各个数学知识点，提高解题能力和速度，同时注重思维训练和策略运用。只要在日常的学习和巩固中不断加强，及时总结做错题的原因，认真备考和调整心态，就能在广东高考数学科目中取得优异的成绩。

注意事项

1、熟悉考试形式和注意事项：考生需要了解广东高考数学科目的考试形式、时间、分值以及注意事项，避免因误解而导致的不必要失分情况。

2、精通各个数学知识点：数学科目的考试重在掌握各个知识点，考生需要充分认真备考，将各个知识点理解透彻，特别是要重视数学基础的打牢，如算术、代数、几何和概率等。

3、善于理解和分析问题：广东高考数学科目测试着广大考生的数学思维能力，考生们在面对考试时，要特别注意题目的问题意图、推理证明等方面。集中处理问题时，要注重问题时序分析，抓住问题的核心解题关键点，避免无谓的时间浪费。

4、多做真题与模拟考试：做真题可以增加考生对试题难度的了解和对知识点的掌握，而模拟考试可以让考生们更好地体验高考考场压力，以更好地适应考试环境。

在数学教学中如何培养学生的几何直观能力

发展学生的空间观念和几何直观方法是多种多样的，只要我们遵循学生的认知规律，了解学生的知识结构，依据学生的年龄特点，遵循知识的循序渐进。鉴于初中学生实际的思维水平及认知能力，动手作、实践探索似乎更能适应学生“空间与图形” 领域的学习。正如课程8．素数问题。包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题等。一般情况下的黎曼猜想仍待解决。哥德巴赫猜想的结果属于陈景润（1966），但离最解决尚有距离。目前孪生素数问题的结果也属于陈景润。9．在任意数域中证明最一般的互反律。该问题已由日本数学家高木贞治（1921）和德国数学家E.阿廷（1927）解决。标准所言，应注重使学生通过观察、作、推理等手段，逐步认识简单几何体和平面图形的形状、大小；应注重通过观察物体、制作模型、设计图案等活动，发展学生的空间观念。 我们的教学还要立足教材，领着学生从教材中走出来。教材承载着提升学生空间观念的点滴作用，一点一滴虽然微小，但能小中见大、滴水穿石。 教材中蕴藏着丰富的培养学生空间观念的好时机，我们要有意识地深入理解教材的每个设计意图，并用好这些素材。努力去创造性地使用素材，为学生的空间观念乃至各方面数学能力的积累创造良好的条件，真正地使数学教学为学生数学素养的积累服务。 让学生在数学活动中拓展和运用新知，培养空间想象力。几何知识的初步认识贯穿在整个初中数学教学中，是按由易到难的顺序呈现的。平行四边形面积的计算是在学生已经掌握并能高中数学中换元法还涉及不多，灵活运用长方形面积计算公式，理解平行四边形特征的基础上进行教学的。这部分知识的学习运用会为学生学习后面的三角形，梯形等平面图形的面积奠定良好的基础。因此这节课的内容在整个教材体系中起到承上启下的作用，是促进学生空间观念及几何直观的发展，渗透转化、等积变形等数学思想方法的重要环节。教材提供了两种提示性的方法：一种是通过数格子的方法，数出这个平行四边形的面积；一种是通过剪与拼的活动，将平行四边形转化1．连续统设1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是的连续统设。1938年，哥德尔证明了连续统设和世界公认的策梅洛–弗伦克尔论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科亨证明连续设和策梅洛–伦克尔论公理是彼此的。因此，连续统设不能在策梅洛–弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否。希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决。为长方形，然后计算出面积。，教材安排了观察平行四边形与长方形的关系，从中推导出计算平行四边形面积的公式。本节课让学生简单记忆公式并不难，难的是让学生理解公式。因此，教学中，通过几何直观性的作用，借助于直观，更好的理解和掌握所学内容的实质。让学生亲自动手剪一剪、拼一拼，并带着自己的作经历进行小组内的讨论和交流，经历了知识的形成过程和几何直观的发展。在这个环节里注重的是让学生在数学活动中动手实践和自主探索发现规律，让学生经历知识的形成过程，使学生在几何直观的基础上对空间观念得到进一步发展。这样不仅让学生学到知识，更重要的是对学生渗透了平移和转化的数学思想方法，培养了学生观察、分析、概括的能力并且训练了学生学会用学到新知解决问题的能力。 一、遵循“渗透——推导——验证——应用”的教学过程。 理解平行四边形的面积公式的推导是这节课的难点。在教学这一内容前，首先通过数方格这个数学活动渗透“转化”的数学思想，让学生初步掌握了等积转化的方法，然后让学生通过动手剪、拼、量、算等活动后去观察比较，接着运用现代化教学手段，为学生架起由具体到抽象的桥梁，使学生直观清楚的看到平行四边形转化长方形的过程，说出拼成长方形和原来平行四边形之间的关系，通过推理，归纳出平行四边形的面积计算公式。这样的教学突出了重点，化解了难点。 二、重视学生动手作实践，发展学生数学思维。 数学教学的核心是促进学生思维的发展。教学中，通过学生学习数学知识，全面通过几何直观的数学思维过程，启迪和发展学生思维，将知识发生、发展过程与学生学习知识的心理活动统一起来。课堂教学中充分有效地进行思维训练，是数学教学的核心，它不仅符合素质教育的要求，也符合知识的形成与发展以及人的认知过程，体现了数学教育的实质性价值。 在这节课中，教师要充分让学生参与学习，让学生数方格，让学生剪拼，学生参与学习全过程，去主动探求知识，强化学生参与意识，通过学生运用“割补法”把平行四边形转化为长方形，逐步学生观察思考：长方形的面积与原平行四边形的面积有什么关系？长方形的长和宽与平行四边形底和高有什么关系？利用讨论交流等形式要求学生把自己作-转化-推导的过程叙述出来，然后可以充分利用多媒体课件演示，形象、直观，使学生得出结论：因为长方形的面积=长X宽，所以平行四边形的面积=底×高。通过观察、交流、讨论等形式，发展学生思维和表达能力，让学生在理解公式推导的过程中学会解决问题。这样教学对于培养学生的空间观念，发展学生解决生活中实际问题的能力都有重要作用。 三、注重师生互动、生生互动 新课程标准提倡学生的自主学习，在课堂教学中主张以学生为主体，注重师生互动和生生互动。师生应该互有问答，学生与学生之间要互有问答。在这节课中，我能始终面向全体学生，以学生为主体，教师为主导，通过教学中师生之间、同学之间的互动关系，产生教与学之间的共鸣。 借助于几何直观、几何解释，能启迪思路，可以帮助我们理解和接受抽象的内容和方法；抽象观念、形式化语言的直观背景和几何形象，都为学生创造了一个自己主动思考的机会；揭示经验的策略，创设不同的数学情景，使学生从洞察和想象的内部源泉入手，通过自主探索、发现和再创造，经历反思性循环，体验和感受数学发现的过程，提高学生的数学思维能力。直观常常提供证明的思路和技巧,有时严格的逻辑证明无非是直观思考的严格化和数学加工。几何直观是认识的基础, 有助于学生对数学的理解。 几何直观已经成为数学界和数学教育界关注的问题，如何培养学生的几何直观能力，还有待于我们进一步去研究。只要我们做个有心人，帮助学生建立起实物与概念间的联系，化抽象为具体，就可以促使学生更好地理解数学概念的本质，也能够提高学生学习的兴趣。

教师如何激发学生数学思维

2、三角形中一边的中线若等于这边一 半，则这一边所对的角是直角。

数学知识的脉络是前后衔接、环环紧扣的，并总是按照发生—发展—延伸的自然规律构成每个单元的知识体系。学生获得知识的思维过程也是如此，下面小编跟大家聊聊关于教师如何激发学生数学思维，欢迎大家阅读!

2数学思维训练

1教师如何激发学生数学思维

学生抓住思维的转折点

学生的思维有时会出现“卡壳”现象，这就是思维的障碍点。此时教师应适时地加以疏导、点拨，促使学生思维转折，并以此为契机促进学生思维的发展。

例如：甲乙两人共同加工一批零件，甲加工的零件个数是乙加工的2/5。实际甲比多加工了34个，正好是乙加工零件个数的7/9。这批零件共有多少个?学生在思考这道题时，虽然能准确地判断出2/5和7/9这两个分率都是以乙加工的零件个数为标准量的，但是，这两个标准量的数值并不相等，这样，学生的思维出现障碍。教师应及时抓住这个机会，学生开拓思路：“甲加工的零件个数是乙的2/5”，这说明甲、乙加工零件的个数是几比几?“正好是乙加工零件个数的7/9”又说明甲、乙实际加工零件个数是几比几?这样，就将以乙标准量的分率关系转化为以总个数为标准量的分率关系，直至解答出这道题。在这个过程中，教师学生由分数联想到比的过程，实际就是学生思维发生转折的过程。抓住这个转折点，有利于克服学生的思维障碍，有利于发散思维的培养。

数学知识的脉络是前后衔接、环环紧扣的，并总是按照发生—发展—延伸的自然规律构成每个单元的知识体系。学生获得知识的思维过程也是如此，或从已有的经验开始，或从旧知识引入，这就是思维的开端。从学生思维的起始点入手，把握住思维发展的各个层次逐步深入直至终结。如果这个开端不符合学生的知识水平或思维特点，学生就会感到问题的解决无从入手，其思维脉络就不会在有序的轨道上发展。

课堂教学是一种师生共同进行的集体性活动。学生并不是孤立地独自一人进行思维活动，所以相互之间就必然产生思维信息的传递、交流和激励。常用的合作学习法对培养学生的刨造性思维就产生了巨大的推动作用。(1)合作学习能触发学生的发散思维，对于同一个问题，不同的学生会从不同的角度，不同的层面去考虑，这样使学生有了借鉴别人思维的机会，有助于学生思维的全面发展.教学中常会遇到这样一种情况，对于某—个问题，全体同学的思维都发生了困难想不出办法。

课堂气氛比较沉闷.但略微3、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。过了一段对问后，有一位学生首先取得突破，当他介绍完自己的想法、分析思路、和解法以后，许多学生就会感到顿开塞，好多种想法和解法好象都一下子从他们大脑中涌出来，很明显，前面有一位学生的思维成果的显示对其他学生的思维活动产生了激励作用。(2)合作学习能触发学生的求异思维，不拘泥于一种，敢与提出自己的见解。求异思维是创造的前提，敢于打破旧的规矩框框，才具有创造的可能性。(3)合作学习还能触发学生的论辩思维，在双方互相陈述理由，寻找对方缺点，以求驳倒对方的过程中，充分促进了创造性思维的培养和发展。

利用学具，加强启发式教学，培养学生创新思维

教师要充分利用好学具，如在讲《正方体的展开与折叠》这节课时，让每个学生提前准备好各种正方体的展开，上课时让学生来展示自己的折叠过程，让学生把展开图与其他同学进行比较，由学生自己归纳出正方体展开图的11种情形。这样，学生会感到非常有趣，这使他们既练了手，又练了脑，更培养了学生的创新思维。

又如平面几何中讲三边对应相等的两个三角形全等的判定定理后，说明三角形的稳定性，可以取三根长度适当的金属棒或木条，用钉子把它们钉成一个三角形，所得三角形的形状就固定了。如果把四根木条的端点用钉子固定起来，构成一个四边形，它的形状就容易改变。这样让学生自制模型，通过实验发现结论，能使教学变呆板为灵活，变抽象为直观，变空洞乏味为新鲜有趣，收到较好的效果。

3数学思维训练

亲身体验，学会求知创新，引发探究，激发“火花”

数学教学中强调学生动手作能力的培养，“动手作”的课堂引入，可以激发学生的好动特征，从而提高他们的观察力，活动能力和实验素养，所以教师在导入实施“导入”这个环节时，要以学生为中心，强调学生对知识的主动探究，教师通过设计的导入，充分给学生亲自动手作的机会，激发他们的学习兴趣和培养他们的主体创造能力。

例如：在“平面直角坐标系的应用”导入环节中，可以分两步设计：步：先让学生在坐标系中描出三个已知点，连结成三角形。分别给横坐标都加2，给纵坐标都加3，描新的点，连结并观察图形与原有的图形形状大小位置有何关系?学生在实际的动手活动中总结得出图形与坐标变化的联系。第二步：继续拓展。分别给横坐标都乘以2，纵坐标都乘以2新的点，连结并观察图形与原有的图形形状大小位置有何关系，学生通过系列的作图体会，改变坐标的变化导致图形位置的移动，进而推广到决定图形对称的变化，同时从逆向训练，图形的变化如何改变坐标，深刻理解坐标与图形这间的相互影响关系。在导入时，老师要坚决摒弃“注入式”和“结论式”的教学模式，多设计出使用一些需要学生创造性思考的教学方法，为学生开拓有效的活动空间，做学习的主人。

幽默语言，导入数学疑难问题，引发探究，激发“火花”

数学课中生动有趣的教学语言对启发学生的学习兴趣，解决疑难问题有很大作用，课上得幽默有趣，学生可以带着一个高涨的、激动的情绪从事学习和思考。

如在教学直线概念时，可以这样描述：直线可以想象成黑板边线的无限延长，穿过高山大川，突破大气层，经过星球，直至九霄云外而无穷无尽。这过这样的描述，学生便兴趣盎然，对直线这一概念理解就显得形象。

4数学思维训练

教会学生思维的方法

现代教育观点认为，数学教学是数学活动的教学，即思维活动的教学。如何在数学教学中培养学生的思维能力，养成良好思维品质是教学改革的一个重要课题。孔子说：“学而不思则罔，思而不学则殆”。在数学学习中要使学生思维活跃，就要教会学生分析问题的基本方法，这样有利于培养学生的正确思维方式。要学生善于思维，必须重视基础知识和基本技能的学习，没有扎实的双基，思维能力是得不到提高的。

数学概念、定理是推理论证和运算的基础。在教学过程中要提高学生观察分析、由表及里、由此及彼的认识能力;在例题课中要把解(证)题思路的发现过程作为重要的教学环节，仅要学生知道该怎样做，还要让学生知道为什么要这样做，是什么促使你这样做，这样想的;在数学练习中，要认真审题，细致观察，对解题起关键作用的隐含条件要有挖掘的能力，会运用综合法和分析法，并在解(证)题过程中尽量要学会用数学语言、数学符号进行表达。

在教学过程中充分展示教师和学生思维活动的全过程

教学的重要目的，就是使学生理解和掌握正确的结论，并在此基础上创新应用。但如果不经过一系列的质疑、判断、比较、选择以及相应的分析、综合、概括等认识活动，即：如果没有多样化的思维过程和认知方式，没有多种观念的碰撞、争论和比较，结论就难以获得，也难以真正理解和巩固，学生的创新精神和创新思维就不可能培养起来。因此知识点解决的过程、方法本身就是课程的重要组成部分。教师在教学过程中应充分显示思维活动的全过程。应从讲知识、讲概念，发展到讲对知识概念的理解过程和掌握概念的思维过程：从讲解法，讲解题，发展到着重讲为解决问题而进行的思维过程：从讲经验，发展到讲方法，规律的探索和总结过程。这样才能促使学生从形式上的模仿、解题过程的模仿，发展到思维过程和思维方法的模仿，从而形成自己分析问题、解决问题、寻求创新的思维方式。

列方程解应用题是初中数学的重点，也是一大难点。由于学生适应了小学中直接列出算式求结果的方式，往往对设未知数的方法，找关系列方程的过程很不适应。总想直接列出方程或算式，而这种方式对于解决复杂、多条件问题很难做到。为了改变这种状况，刚接触应用题的时候，我就重点强调审(题)、找(关系)、设(未知数)、列(方程)、解(方程)、捡(验)、答的解题过程。拿过题来，通读几遍后，学生利用发散思维，搜集题目中的所有条件，整理所有等式关系，然后集中思维，找出解题的关键部分。选择未知数的设法，再返回到等式关系中，列出相应的方程，不同的设法，不同的等式关系，对应着不同的解题方法。这种在已有信息的基础上发散，在发散的基础上选择、集中的过程本身就是创新思维的应用过程，而这种思想的形成将对后来学习方程组、高次方程、不等式、函数，及复杂材料分析题目的解决，打下坚实的基础。如果说教师的讲解为学生思维的发展打开了半扇窗户，那么学生对自己思路的讲解则是打开其创造思维的大门。

数学的几何证明题该怎么写。怎么学好。

一要审题。很多学生在把一个题目读完后，还没有弄清楚题目讲的是什么意思，题目让你求证的是什么都不知道，这非常不可取。我们应该逐个条件的读，给的条件有什么用，在脑海中打个问号，再对应图形来对号入座，结论从什么地方入手去寻找，也在图中找到位置。

二要记。这里的记有两层意思。层意思是要标记，在读题的时候每个条件，你要在所给的图形中标记出来。如给出对边相等，就用边相等的符号来表示。第二层意思是要牢记，题目给出的条件不仅要标记，还要记在脑海中，做到不看题，就可以把题目复述出来。

三要引申。难度大一点的题目往往把一些条件隐藏起来，所以我们要会引申，那么这里的引申就需要平时的积累，平时在课堂上学的基本知识点掌握牢固，平时训练的一些特殊图形要熟记，在审题与记的时候要想到由这些条件你还可以得到哪些结论（就像电脑一下，你一点击开始立刻弹出对应的菜单），然后在图形旁边标注，虽然有些条件在证明时可能用不上，但是这样长期的积累，便于以后难题的学习。

四要分析综合法。分析综合法也就是要逆向推理，从题目要你证明的结论出发往回推理。看看结13．不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程。七次方程的根依赖于3个参数a、b、c，即x=x（a，b，c）。这个函数能否用二元函数表示出来？数学家阿诺尔德解决了连续函数的情形（1957），维士斯金又把它推广到了连续可微函数的情形（1964）。但如果要求是解析函数，则问题尚未解决。论是要证明角相等，还是边相等，等等，如证明角相等的方法有（1.对顶角相等2.平行线里同位角相等、内错角相等3.余角、补角定理4.角平分线定义5.等腰三角形6.全等三角形的对应角等等方法。然后结合题意选出其中的一种方法，然后再考虑用这种方法证明还缺少哪些条件，把题目转换成证明其他的结论，通常缺少的条件会在第三步引申出的条件和题目中出现，这时再把这些条件综合在一起，很条理的写出证明过程。

以上是常见证明题的解题思路，当然有一些的题设计的很巧妙，往往需要我们在填加辅助线，

分析已知、求证与图形，探索证明的思路。

对于证明题，有三种思考方式：

（1）正向思维。对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举可以做出，这里就不详细讲述了。

（2）逆向思维。顾名思义，就是从相反的方向思考问题。运用逆向思维解题，能使学生从不同角度，不同方向思考问题，探索解题方法，从而拓宽学生的解题思路。这种方法是学生一定要掌握的。在初中数学中，逆向思维是非常重要的思维方式，在证明题中体现的更加明显，数学这门学科知识点很少，关键是怎样运用，对于初中几何证明题，用的方法就是用逆向思维法。如果你已经上初三了，几何学的不好，做题没有思路，那你一定要注意了：从现在开始，总结做题方法。同学们认真读完一道题的题干后，不知道从何入手，建议你从结论出发。例如：可以有这样的思考过程：要证明某两条边相等，那么结合图形可以看出，只要证出某两个三角形相等即可；要证三角形全等，结合所给的条件，看还缺少什么条件需要证明，证明这个条件又需要怎样做辅助线，这样思考下去……这样我们就找到了解题的思路，然后把过程正着写出来就可以了。这是非常好用的方法，同学们一定要试一试。

（3）正逆结合。对于从结论很难分析出思路的题目，同学们可以结合结论和已知条件认真的分析，初中数学中，一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的，所以可以从已知条件中寻找思路，比如给我们三角形某边中点，我们就要想到是否要连出中位线，或者是否要用到中点倍长法。给我们梯形，我们就要想到是否要做高，或平移腰，或平移对角线，或补形等等。正逆结合，战无不胜。

以下就是9类几何证明题的常见思路：

一、证明两线段相等

1、两全等三角形中对应边相等。

2、同一三角形中等角对等边。

3、等腰三角形项角的平分线或底边的高平分底边。

4、平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。

5、直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

7、角平分线上任一点到角的两边的距离相等。

8、过三角形 边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

10、圆外点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。

11、两前项(或两后项)相等的比例式中的两后项(或两前项)相等。

12、两圆的内(外)公切线的长相等。

13、等于同一线段的两条线段相等。

二、证明两个角相等

1、两全等三角形的对应角相等。

2、同三角形中等边对等角。

3、等腰三角形中，底边上的中线(或高)平分顶角。

4、两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。

5、同角(或等角)的余角(或补角)相等。

6、同圆(或圆)中，等弦(或弧)所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

7、圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

8、相似三角形的对应角相等。

9、圆的内接四边形的外角等于内对角。

10、等于同一角的两个角相等。

三、证明两条直线互相垂直

1、等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

3、在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。

4、6、利用比例式或等积式化得。邻补角的平分线互相垂直。

5、一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另-条。

6、两条直线相交成直角则两直线垂直。

7、利用到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。

9、利用萎形的对角线互相垂直。

10、在圆中平分弦(或弧)的直径垂直于弦。

11、利用半圆上的圆周角是直角。

四、证明线段的和倍分

1、 作两条线段的和， 证明与第三条线段相等。

2、在第三条线段上截取段等于第条线段，证明余F部分等于第条线段。

3、延长短线段为其:倍，再证明它与较长的线段相等。

五、证明角的和倍分

1、与证明线段的和、、倍、分思路相同。

2、利用角平分 线的定义。

六、证明线段不等

1、同一三角形中，大角对大边。

2、垂线段最短。

3、三角形两边之和大于第三边，两边之小于第三边。

4、在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。

5、同圆或等圆中， 弧大弦大，弦心距小。

七、证明两角的不等

1、同一三角形中，大边对大角。

2、三角形的外角大于和它不相邻的任内角。

3、在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第边大的，两边的夹角也大。

4、同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大。

1、利用相似三角形对应线段成比例。

2、利用内外角平分线定理。

3、平行线截线段成比例。

4、直角三角形中的比例中项定理即射影定理。

5、与圆有关的比例定理--相交弦定理、切割线定理及其推论。

九、证明四点共圆

1、对角互补的四边形的顶点共圆。

2、外角等于内对角的四边形内接于圆。

3、同底边等顶角的三角形的顶点共圆(顶角在底边的同侧)。

4、同斜边的直角三角形的顶点共圆。

5、到顶点距离相等的各点共圆。

首先定理一定要懂，不只是背下来，一定要充分理解，例如平行、垂直类的定理。高考立体几何在选填中通常是以三视图和球内接几何体形式考查，前者为送分题，而后者有较大难度，需要多培养空间想象能力。平时多动脑想就可以培养。大题多是平行垂直的证明和求二面角这类题型，平行垂直这类问题需要语言严密，通常难度较小。求二面角首先要用三垂线定理做出二面角，然后将角控制在RT三角形中，解三角形得出。如果空间想象能力实在太，可以考虑用纯向量，可能计算繁琐些。还有就是每天至少弄懂一道典型题，坚持下去会有收获。祝你明年考出好成绩。

首先定理一定要懂，不只是背下来，一定要充分理解，例如平行、垂直类的定理。高考立体几何在选填中通常是以三视图和球内接几何体形式考查，前者为送分题，而后者有较大难度，需要多培养空间想象能力。平时多动脑想就可以培养。大题多是平行垂直的证明和求二面角这类题型，平行垂直这类问题需要语言严密，通常难度较小。求二面角首先要用三垂线定理做出二面角，然后将角控制在RT三角形中，解三角形得出。如果空间想象能力实在太，可以考虑用纯向量，可能计算繁琐些。还有就是每天至少弄懂一道典型题，坚持下去会有收获。祝你明年考出好成绩。

几何证明要学好关键有两条，一是定理要记熟、理解，二是识图能力要强

定理，不仅要背内容，还要记定理的基本图形和定理的推理书写格式；

识图能力，需要一定量的练习，根据已知条件、图形能够联想到相关定理，这是识图能力强的初步，能够添加辅助线将已知与求证联系起来这是识图能力的进一步，能够根据条件、图形探索出求证外的其他结论，这是识图能力强的高境界了，这需要在平时做题中注意总结和联想。

掌握6、保持良好状态和心态：在考试过程中，要保持良好的状态和健康的心态，积极面对考试，尽可能发挥自己的优势，正确确定自己的考务状态，保持积极的心态，保持自信心和冷静心。所有的定理； 多做题；

每做完一道题要总结下方法，积累方法

可以抠点分，比如找一些条件可以得到一点分、

知道已知条件，代入相关定理，即可求出。